Einführung in die theoretische Bepreisung von Optionen

Die Bepreisung von Optionen basiert auf dem unbekannten zukünftigen Ergebnis des Basiswerts.

Wenn wir wüssten, wo der Markt am Laufzeitende steht, könnten wir heute jede Option perfekt bepreisen. Niemand weiß, wie der Preis sein wird, aber wir können anhand von Preismodellen Schlussfolgerungen ziehen.

Wenn man sich Call-Optionen ansieht, so kostet ein höherer Ausübungspreis weniger als ein niedrigerer Ausübungspreis.

Wenn der Preis des Basiswerts dramatisch gestiegen ist und Sie sich für einen höheren Ausübungspreis anstatt eines niedrigeren Ausübungspreises entschieden haben, ist Ihr Auszahlungsbetrag geringer, da Sie auf den ersten Teil der Aufwärtsbewegung verzichtet haben.

Um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie hoch die Prämie bei jedem Ausübungspreis sein sollte, verwenden wir ein einfaches Modell.

Angenommen, ein Vermögenswert ist mit 100 USD bewertet und hat die Eigenschaft, sich jeden Monat um einen Dollar (nach oben oder nach unten) zu bewegen. In diesem Modell gehen wir davon aus, dass sich die Preisbewegung über die Laufzeit der Option jeden Monat wiederholt und dass die Option in vier Monaten abläuft.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für jedes der möglichen Preisergebnisse nach vier Monaten? In diesem Modell gibt es 16 mögliche Pfade, die zu jedem der fünf Preisergebnisse führen. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses kann durch Aggregation der Pfade für jeden Preis berechnet werden.

Die Wahrscheinlichkeit, einen einzelnen Preispunkt in diesem Modell zu erreichen, errechnet sich aus der Anzahl der Pfade in diesem Preispunkt geteilt durch die Gesamtzahl der Pfade.

Jetzt, da wir die Wahrscheinlichkeit für jeden Preispunkt errechnet haben, können wir mit der Bepreisung von Optionen mit unterschiedlichen Ausübungspreisen beginnen. Zunächst müssen Sie den Auszahlungsbetrag für jeden Ausübungspreis auf dem festgelegten Preisniveau kennen.

Beispielsweise wäre die 97-Call-Option mit einem zugrunde liegenden Preisniveau von 96 eine „Aus-dem-Geld“-Option. Der Auszahlungsbetrag ist null.

Bei einem Preisniveau von 98 ist die 97-Call-Option „im Geld“ und der Auszahlungsbetrag ist 1 USD. Bei 100 USD beträgt der Auszahlungsbetrag 3 USD, bei 102 beträgt der Auszahlungsbetrag 5 USD und bei 104 beträgt der Auszahlungsbetrag 7 USD.

Um den wahrscheinlichkeitsgewichteten Auszahlungsbetrag zu ermitteln, multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeit für jeden Preispunkt mit dem Auszahlungsbetrag. Der theoretische Preis für eine 97-Call-Option wäre die Summe der wahrscheinlichkeitsgewichteten Auszahlungsbeträge. In diesem Fall beliefe sich die Summe auf 3,0625.

Wenn wir die Mathematik für jeden Ausübungspreis fortsetzen, sehen wir, dass der 101-Ausübungspreis einen theoretischen Preis von 0,4375 und der 103-Ausübungspreis einen theoretischen Preis von 0,0625 hat.

Es dürfte nicht überraschen, dass der 103-Ausübungspreis weniger Wert hat als der 101-Ausübungspreis, da die Wahrscheinlichkeit, dass er „im Geld“ ist, viel geringer ist.

Händler verwenden eigene Modelle, um zu ermitteln, ob die Preise am Markt ihren Ansichten entsprechen. Wir haben Ihnen ein sehr einfaches Binomialmodell gezeigt. Dabei wird davon ausgegangen, dass sich der Markt in jedem Zeitraum um einen bestimmten Betrag nach oben oder unten bewegt. Selbst die fortschrittlicheren Modelle bieten nur Schätzungen für den Optionspreis und basieren noch auf Annahmen hinsichtlich der Zukunft. Diese theoretischen Preismodelle bieten Optionshändlern die Möglichkeit, Optionspreise zu verfolgen und zu messen.