日經225指數期貨的價差交易機會

我們首先回顧兩種合約的規格，如圖2所示。兩種合約最重要的區別是合約計價貨幣的倍數不同。美元日經指數期貨的規模為5美元乘以指數，日圓日經指數期貨為500日圓乘以指數。在CME Globex電子交易平台上，兩種合約的3月季度到期日可以連續交易，而且幾乎提供全天候的流動性。日圓日經指數期貨的連續月份可以進行交易，但交易量不高。

兩種日經225指數期貨的最終結算價格相同，即日經225指數的特別開盤價，按到期日每種成分股的開盤價計算。因此，如果到期日相同，這兩種期貨合約的價格將在終止時趨同。

假設日圓匯率與日經225指數為正相關。因此，投資者可能更願意買入日圓日經指數期貨，而非美元日經指數期貨。這很容易理解，因為如果日經225指數上漲，則日圓對美元升值往往會為多頭頭寸的盈利提供支撐。但如果日經225指數下跌，日圓對美元貶值可以減輕頭寸的虧損。因此，日圓日經指數期貨合約的交易價格應當高於美元日經指數期貨合約。¹

如果日圓匯率與日經225指數為負相關，則會出現相反的情況。因此，投資者更願意買入多頭日圓日經指數期貨頭寸，而非多頭美元日經指數期貨頭寸。這是因為如果日經225指數上漲，日圓日經指數期貨多頭頭寸的盈利被日圓貶值抵消。或者，如果日經225指數下跌，日圓日經指數期貨多頭頭寸的虧損會因日圓升值放大。因此，美元日經指數期貨的交易價格應當高於日圓日經指數期貨

後一種情況經常看到，即日圓升值與股市下跌相呼應。因此，美元日經指數期貨的交易價格通常更高。

考慮以下交易：在I$的價位賣出或做空一份美元日經指數期貨，並在I¥的價位買入或做多Δ份日圓計價合約。假設Ī代表日經225指數期貨的金融結算價格，x̄代表日經225指數期貨到期當天的日圓-美元匯率。2²

在合約到期時，頭寸的盈虧(P/L)以美元表示如下。

為方便起見，選擇價差比率Δ為1 / 100x，其中x是最初執行交易時的日圓-美元現貨匯率³，這時盈虧表達如下：

如果期貨按「公平價值」定價，盈虧的預期價值為零。為了做到這一點，兩種期貨合約的相對價格應當是：

在這個等式中，左邊是日圓日經指數期貨與美元日經指數期貨的溢價/折價百分比。右邊是日圓-美元匯率及日圓日經指數期貨變動百分比的協方差。這種粗略的快速計算可以驗證先前的假設：如果日圓-美元匯率與日經225指數為正相關，則日圓日經指數期貨合約的價格應當高於美元計價的合約。

雖然這個公式已經很簡潔，但還可以用下面的方法進一步簡化。假設T表示期貨到期的時間，σᴇ和σI分別表示匯率和日經指數的年化波動率，ρ表示匯率與指數之間的相關性。那麼日圓日經指數期貨相對於美元日經指數期貨的溢價（即雙幣種價差）可表達如下。

從這個等式中可以看到決定兩種指數期貨合約之間溢價的三個主要因素以及這些決定因素之間的關係。

1. 相關性：如果匯率走勢與股指走勢之間沒有全面的同步性，那就沒有理由在兩種貨幣計價的期貨之間作出取舍。
2. 從歷史來看，日圓升值與股市成反相關。根據對將來這種相關性的預測，美元日經指數期貨的交易價格幾乎總是高於日圓日經指數期貨。圖3顯示美元日經指數期在四個完整季度週期的溢價。
3. 波動率：如果相關性對價格產生任何重大影響，匯率和指數必然至少出現一定程度的實際波動。圖3顯示走勢。日經指數期貨大幅下跌往往與波動加劇相呼應。與此同時，價差幅度也往往更高。
4. 時間：相關性或波動率的影響需要時間來呈現。圖3顯示這種時間衰減效應。

最簡單的方法或許是觀察雙幣種價差在季度轉期期間的幅度。特別是，日圓日經指數期貨和美元日經指數期貨的日曆價差可以很方便地進行比較。圖4顯示最近15個轉期期間的平均雙幣種價差。

來源：彭博，芝商所

價差是日曆價差之間的差額，以日圓和美元日經指數期貨即月期貨和下個季度月份期貨的指數點表示。由於美元日經指數期貨的交易價格始終高於日圓日經指數期貨，2016年3月的96.25個指數點便是美元日經指數期貨在2016年3月到2016年6月到期時三個月期間相對於日圓日經指數期貨的溢價。即將到期（即2016年3月）的日圓日經指數期貨的價差幅度為0.572%。

右邊兩欄顯示匯率的三個月隱含波動率和日經指數的三個月隱含波動率。它們彼此相關，而且和預期的一樣，它們也與雙幣種價差的幅度存在相關性。

隱含相關性是溢價幅度與隱含波動率之間的比率。有意思的是，外匯和指數之間的隱含相關性可能超過100%，而且確實經常超過。這或許意味著美元日經指數期貨的最終使用者非常看重美元計價的期貨，願意為之支付高於「公平價值」的價格。

下面舉例解釋價差交易，假設在執行價差交易時買入250份日圓日經指數期貨，同時賣出適當數量的美元日經指數期貨。假設合約到期還剩三個月，美元日經指數期貨的交易價格比日圓日經指數期貨高40個指數點。最後，假設匯率為1美元兌107日圓，或1日圓兌0.009345美元。根據這些假設條件，適當的價差比率為1:1.07。因此，我們可以賣出234份美元日經指數期貨。

一天後，日圓和美元日經指數期貨同時回升100個指數點，而價差仍然是40個指數點。 兩者的盈虧如下。

如果日圓在同一天升值，則流入的日圓保證金價值高於支付的美元保證金。投資者可透過貨幣交易鎖定收益，即賣出日圓套換美元，用來抵償美元保證金，剩下的便是收益。

隨後，價差比率需要重新調整，以反映匯率的波動，但這種調整往往很小。例如，如果匯率波動1%，則價差比率的變動為1%，相當於本例中的2至3份合約。

現在回頭來看上文提到的價差公式。根據該公式，日圓-美元指數價差的累積盈虧僅僅是每天累積的匯率和指數波動所致。以此為背景，上例強調價差交易的盈利能力其實反映這種每日累積過程的速度，另一方面反映到期時的價差趨同性。

對很多市場參與者而言，如上例那樣根據匯率波動每天執行貨幣交易來實現盈虧可能不切實際，或者無法做到。在這些情況下，投資者可能被迫持有兩種不同貨幣的盈虧，直至期貨到期，這時將出現單一貨幣交易。

如果出現這種情況，價差比率略作調整或許較為理想。要瞭解原因，不妨回顧上文每日盈虧背後的原理。

用δ1表示當天日經指數期貨的波動。用r$和r¥分別表示美元和日圓的連續複利。最後，假設日圓和美元日經指數期貨之間的價差不變。現在，假如我們不將盯住市價所獲盈利立刻兌換為美元，而是選擇持有該盈利，直至期貨到期。在合約到期時，當天的盈虧可以表示如下：

仔細分析可以發現，這需要根據相對利率調整價差比率，

其中x表示日圓/美元目前的匯率。為方便起見，複雜的分母xe^{(r¥ - r$)T}可以用芝商所日圓外匯期貨價格來表示，兩者十分接近。貨幣期貨一般在合約月份第三個週三之前的週一到期，比日經225指數期貨晚幾天到期。在相差的這幾天時間內，有足夠的時間完成必要的現貨外匯交易，以實現價差交易的最終盈虧。

根據上例，250手日經指數期貨頭寸100點的變動將產生1250萬日圓的市價差異。這個數字是為了方便說明起見，因為標準規模的芝商所日圓期貨的名義規模恰好是1250萬日圓。日經225指數在一天之內波動100點並不稀奇。因此，投資者可以很方便地使用貨幣期貨代替現貨或現金貨幣交易來對沖風險。

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此報告中所有示例均為對各種情況的虛擬解釋，僅作說明之用。此報告中的觀點僅反映作者的看法，未必是芝商所集團或其聯屬機構的看法。此報告及其中所載資訊不應視為投資建議或實際市場經驗的結果。

¹ 要注意的是，投資者可以繳交抵押品作為初始保證金，利用槓桿建立多頭或空頭期貨頭寸。抵押品形式可以是美元計價的現金或證券、日圓計價的現金或證券，或以其他貨幣計價的現金或證券。因此，使用美元的交易者可以建立多頭日圓日經指數期貨頭寸，而不必實際持有或繳交日圓。但是，隨後日圓日經指數期貨頭寸的任何盈虧都以日圓計價。

² 日圓對美元的匯率一般以1美元兌多少日圓報價，這通常稱為美元-日圓匯率。但是，為了方便美元交易者，我們按照1日圓兌多少美元進行「美國式」報價。這稱為日圓美元匯率。這為進一步討論如何利用芝商所日圓-美元期貨（以每日圓兌多少美元來報價）作為對沖提供了一個平台。如果我們採用美元-日圓的銀行同業慣例，結論也是一樣的。

³ 這種價差比率旨在確保兩種指數期貨的合約倍數的價值相同。